АМСОИ (10) - Лекция №6 - Анализ СМО с отказом
Оценка характеристик функционирования систем с отказом
$\lambda = \mu$
$\rho = \frac{\lambda}{\mu} = 1$
Количество состояний системы $m + 2$
Поскольку $\lambda = \mu$, то все состояния равновероятны.
Вероятность отказа: $$P_{отк} = P_{m+1} = \frac{1}{m+2} $$
Интенсивность отказа: $$\lambda_{отк} = \lambda\cdot P_{отк} = \frac{\lambda}{m + 2} $$
Поток заявок, попадающий в систему: $$\lambda_{обсл} = \lambda - \lambda_{отк} = \lambda\cdot (1 - \frac{1}{m+2}) = \frac{m + 1}{m + 2}\cdot\lambda$$
$$\lambda_{вых} = \lambda_{обсл} $$
Коэффициент использования ОА: $$U = \sum_{i=1}^{m+1} P_i = 1 - P_0 = 1 - \frac{1}{m+2} = \frac{m + 1}{m + 2} $$
Количество заявок в очереди: $$Q = \sum_{i=1}^{m+1} (i - 1)\cdot P_i = \sum_{i=1}^{m+1} i\cdot P_i - \sum_{i=1}^{m+1} P_i = \frac{1}{m + 2}\cdot\sum_{i=1}^{m+1} i - \sum_{i=1}^{m+1} P_i = \frac{m}{2}\cdot\frac{m+1}{m+2} $$
Количество заявок в системе (с учётом, что у нас есть отказы): $$L = Q + U$$
Если бы не было отказов, то было бы: $$L = Q + \rho$$
Ещё способ: $$L = \sum_{i=1}^{m+1} i\cdot P_i = \frac{1}{m+2}\cdot\sum_{i=1}^{m+1} = \frac{m+1}{2} $$
Среднее время ожидания $W$ определяется тремя способами:
- учитываются и заявки отказа (у них время ожидания 0), и попавшие в систему. Время получится наименьшим;
- все заявки, попадающие в систему, но заявки, не ждущие в очереди, тоже учитываются. Время ожидания получится больше, чем в первом способе;
- все заявки, попадающие в систему. Заявки, не ждущие в очереди, не учитываются. Время ожидания получится наибольшим из трёх способов.
$$W = \frac{Q}{\lambda_{обсл} } = \frac{m}{2}\cdot\frac{(m+1)\cdot (m+2)}{(m+2)\cdot(m+1)\cdot\mu} = \frac{m}{2\cdot\mu} $$
Среднее время пребывания в системе: $$T = \frac{L}{\lambda_{обсл} } = \frac{m+2}{2\cdot\mu} $$
Относительная пропускная способность СМО: $$q = \frac{\lambda_{обсл} }{\lambda} = \frac{m+1}{m+2} $$
Абсолютная пропускная способность СМО (поток, который поступает в систему): $$A = q\cdot\lambda$$
Для определения числа мест в буфере $m$ можно ориентировочно пользоваться следующей приближённой формулой: $$m = \frac{\rho - 2\cdot P_{отк} }{P_{отк} } $$
Домашнее задание №4
Рассчитать характеристики одноканальной СМО (в которой происходят отказы в обслуживании, как и у рассматриваемой на лекции). Исходные данные у всех групп разные:
- $\rho = 0.9$, $m = 0..10$;
- $\rho = 0.5$, $m = 0..10$;
- $\rho = 0.6$, $m = 0..10$;
- $\rho = 0.8$, $m = 0..10$.
Найти вероятность $P_{отк}$.
Написать на GPSS модель этой системы. Поток пуассоновский, обслуживание экспоненциальное.
