НиД (10) - Лекция №11 - Псевдоэлементы (продолжение)

...начало

Метод псевдоэлементов

Многополюсники

Выделяем пути, проходящие через 21:

Получили элемент $ПЭ_1$.

То же самое и для путей через 22 - получится элемент $ПЭ_2$, содержащий элементы $33^*$ и $34^*$ (они потом ещё пригодятся).

При этом, $ПЭ_1$ не эквивалентен $ПЭ_2$.

Все эти преобразования, кстати, неточные и вносят погрешность, но она незначительная.

Представим элементы 41 и 42 как один элемент: из схемы получения $ПЭ_1$ отбросим элементы 41 и 42:

Получится:

Исходная схема теперь превращается в следующее:

Теперь объединяем элементы $33^*$ и $34^*$ в $ПЭ_3^*$. И путём использования параллельной декомпозиции найдём элементы $33^{**}$ и $34^{**}$

В результате всех преобразований получается:

Математическое обоснование метода псевдоэлементов

Рассматриваем функционирование элемента, которые работает, ломается, восстанавливается и так далее:

Функция распределения времени работы экспоненциальная.

Функция распределения времени восстановления произвольная.

$$К_г = 1 - F(t) + \int_0^t 1 - F\cdot (t - x)\cdot h(x) dx$$

$$К_г = e^{-\lambda\cdot t} + \int_0^t e^{-\lambda\cdot (t - x)}\cdot h(x) dx$$

$$K'{t} - \lambda\cdot К_г(t) = h(t)$$

Пусть система в начальный момент находится в исправном состоянии, тогда $К_г(0) = 1$

Преобразование Лапласа-Стилтьеса:

$$К_г(S) = \int_0^\infty e^{-S\cdot t}\cdot\frac{d К_г(t)}{К_г(t) dt}$$

$$К_г^*(S)\cdot(\lambda + S) - 1 = H^*(S)$$

$$H^*(S) = \int_0^\infty e^{-S\cdot t}\cdot\frac{h(t) dt}{d h(t)}$$

Из теории восстановления:

$$P_n {t_n' < t} = \int_0^t F_{n-1}(t - x) d F(x)$$

$$P_n {t_n'' < t} = \int_0^t G_{n-1}(t - x) d G(x)$$

$$\Theta_n(t) = \int_0^t F_n(t - x) d G_n(x)$$

$$\Theta_n^x(S) = F^*(S)^n\cdot G^*(S)^n$$

$$G^*(S) = \int_0^t e^{-S\cdot t} d G(t)$$

$$G^*(S) = \frac{(S + \lambda)\cdot H^*(S)}{\lambda\cdot (1 + H^*(S))}$$

$$G^\lambda(S) = \frac{(x + S)\cdot К_г^*(S) - 1}{\lambda\cdot К_г^*(S)}$$

$$К_г(S) = \frac{1}{(\lambda + S) - \lambda\cdot G^*(S)}$$

Производная по $S$ от функции распределения случайной величины с обратным знаком при $S = 0$ представляет собой математическое ожидание этой функции.

$$m_{t_в} = -[G^*(S)]'_{S=0} = \frac{1 - К_г}{\lambda\cdot К_г}$$

$$К_г = \frac{1}{1 + \lambda\cdot m_{t_в} }$$

Но это для случая с произвольным законом распределения.

Для получения моментов более высокого порядка введём понятие $К_с$, которое использовалось на прошлой лекции как некий коэффициент.

$$К_с = - \int_0^\infty t\cdot К_г'(t) dt$$

Возьмём преобразование Лапласа-Стилтьеса от $К_с$:

$$К_с = [S\cdot К_г(S)]_{S=0}$$

Разложим это в ряд Тейлора, сделаем ещё что-нибудь и получим:

$$К_с = \frac{\lambda}{2}\cdot(D_{t_в} + m_{t_в}^2)\cdot К_г^2$$

$$D_{t_в} = \frac{2\cdot К_с}{\lambda\cdot К_г^2} - m_{t_в}^2$$

продолжение...