НиД (10) - Лекция №12 - Псевдоэлементы (продолжение)

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана - студенческое сообщество
Перейти к: навигация, поиск

...начало

Arrow left.png

Метод псевдоэлементов

Математическое обоснование композиции и декомпозиции

В ТМО с редкими событиями эти редкие очереди могут внести серьёзные погрешности.

10semNDl12pic1.png

$$К_г = \frac{1}{1 + \lambda\cdot m_{t_в} }$$

$$К_с = \frac{\lambda}{2}\cdot К_г^2\cdot (D_{t_в} + m_{t_в})$$

$$D_{t_в} = \frac{2\cdot К_с}{\lambda\cdot К_г^2} - m_{t_в}^2$$

Последовательная композиция

Наша аппроксимация:

$$К_{ГА}(t) = К_г + (1 - К_г)\cdot e^{-\frac{1 - К_г}{К_с}\cdot t}$$

10semNDl12pic2.png

$$\lambda_{ПЭ} = \lambda_1 + \lambda_2$$

$$К_{г_{ПЭ} } = К_{г_1}\cdot К_{г_2}$$

$$К_{Г_1}(t) = К_{г_1} + (1 - К_{г_1})\cdot e^{-\frac{1 - К_{г_1} }{К_{с_1} }\cdot t}$$

$$К_{Г_2}(t) = К_{г_2} + (1 - К_{г_2})\cdot e^{-\frac{1 - К_{г_2} }{К_{с_2} }\cdot t}$$

$$К_{Г_{ПЭ} }(t) = К_{c_{ПЭ} } = \int_0^\infty t\cdot \Bigl[-К_{г_{ПЭ} }'(t)\Bigr] dt$$

$$К_{Г_{ПЭ} } = \frac{К_{с_1}^2\cdot К_{г_2}\cdot(1 - К_{г_2}) + К_{c_1}\cdot К_{с_2}\cdot (1 - К_{К_{ПЭ} }) + К_{с_2}^2\cdot К_{г_1}\cdot (1 - К_{г_2})}{К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_1}) + К_{с_2}\cdot (1 - К_{г_2})}$$

Последовательная декомпозиция

Теперь надо наоборот - найти один из скомпозированных через известный псевдоэлемент.

$$\lambda_2 = \lambda_{ПЭ} - \lambda_1$$

$$К_{г_2} = \frac{К_{ПЭ} }{К_{г_1} }$$

Квадратное уравнение:

$$A\cdot К_{с_2}^2 + B\cdot К_{с_2} + C = 0$$

$$К_{с_2} = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4\cdot A\cdot C} }{2\cdot A}$$

здесь:

$A = К_{г_1}\cdot (1 - К_{г_1})$
$B = К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_{ПЭ} }) - К_{с_{ПЭ} }\cdot (1 - К_{г_1})$
$C = К_{с_1}\cdot (К_{с_1}\cdot К_{г_2} - К_{с_{ПЭ} })\cdot (1 - К_{г_2})$

Параллельная композиция

Если мы находим параметры надёжности параллельно включённой схемы, у которой каждый элемент имеет экспоненциальное распределение времени наработки на отказ, то эквивалентный элемент этой схемы имеет функцию распределения времени наработки на отказ, отличную от экспоненциальной. Однако, это отличие незначительное, и можно аппроксимировать её к экспоненциальной.

Так как потоки отказов элементов пуассоновские, а элементы работают независимо, то поток отказов из двух параллельных элементов будет ординарным.

10semNDl12pic3.png

$$\lambda_{ПЭ} = \frac{К_{г_1}\cdot (1 - К_{г_2})\cdot\lambda_1 + К_{г_2}\cdot (1 - К_{г_1})\lambda_2}{К_{г_1} + К_{г_2} - К_{г_1}\cdot К_{г_2} }$$

$$К_c = \int_0^\infty t\cdot \Bigl[- К_{г_{ПЭ} }'(t)\Bigr] dt$$

$$К_{с_{ПЭ} } = \frac{К_{с_1}^2\cdot (1 - К_{г_2})^2 + К_{с_1}\cdot К_{с_2}\cdot (1 - К_{г_{ПЭ} }) + К_{с_2}^2\cdot (1 - К_{г_1})^2}{К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_2}) + К_{с_2}\cdot (1 - К_{г_1})}$$

Параллельная декомпозиция

Так же, как и в последовательной, ищем второй элемент через известный псевдоэлемент и первый.

$$К_{г_2} = \frac{К_{г_{ПЭ} } - К_{г_1} }{1 - К_{г_1} }$$

$$\lambda_2 = \frac{К_{г_{ПЭ} }\cdot\lambda_{ПЭ} - К_{г_1}\cdot (1 - К_{г_2})\cdot\lambda_1}{К_{г_2}\cdot (1 - К_{г_1})}$$

Квадратное уравнение:

$$A\cdot К_{с_2}^2 + B\cdot К_{с_2} + C = 0$$

$$К_{с_2} = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4\cdot A\cdot C} }{2\cdot A}$$

здесь:

$A = (1 - К_{г_1})^2$
$B = К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_{ПЭ} }) - К_{с_{ПЭ} }\cdot (1 - К_{г_1})$
$C = К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_2})\cdot \Bigl(К_{с_1}\cdot (1 - К_{г_2}) - К_{с_{ПЭ} }\Bigr)$

Материал будет продолжен через одну лекцию.

Arrow right.png

продолжение...

Дополнение к ЛР-ДЗ №3

Нужно будет найти наименее надёжные элементы.

10semNDl12pic4.png

Чтобы проранжировать показатели нажёжности по каждому рангу, надо:

  1. определить показатели надёжности всей схемы в целом (например, методом певдоэлементов);
  2. исследуемые элементы какого-либо ранга принимаются абсолютно надёжными (выбрасываются из схемы, остаются только линии) и находятся параметры надёжности оставшейся схемы;
  3. используя последовательную декомпозицию, найти параметры надёжности этих (исключённых) элементов. Таким образом находятся показатели надёжности для каждого ранга;
  4. теперь проранжируем их. Сразу станет видно наименее надёжный.