НиД (10) - Лекция №4 - Расчёт невосстанавливаемых систем

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску

Показатели надёжности невосстанавливаемых систем

Ненагруженный резерв

Ненагруженный резерв

Все элементы идентичны ($$\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n$$). Между ними можно переключаться.

Если не указывается дополнительно, то считается, что переключатель между элементами абсолютно надёжен.

$$P_{рез} = \sum_{i=0}^n\frac{(\lambda\cdot t)^i}{i!}\cdot e^{=\lambda\cdot t}$$

Пример расчёта ненагруженного резерва

Система состоит их двух элементов, $$\lambda = 0.01$$.

Вычислить вероятность безотказной работы за $$t = 10$$ часов.

$$P_{рез} = (1 + \lambda\cdot t)\cdot e^{-10\cdot 0.01}$$

Методы расчёта надёжности невосстанавливаемых систем

Топологически сложные схемы

Метод путей и сечений

Он же метод минимальных путей и минимальных сечений. Приближённый.

Можно использовать как для восстанавливаемых систем, так и для невосстанавливаемых систем.

$$x_i = 1$$, если элемент работоспособен.
$$x_i = 0$$, если элемент неработоспособен.

Структурная функция работоспособности системы $$\varphi (X)$$, $$X = (x_1, x_2, ..., x_n)$$

$$P_1 = 0.9$$
$$P_2 = 0.9$$
$$P_3 = 0.8$$
$$P_4 = P_5 = 0.7$$

Минимальный путь - множество работоспособных элементов системы, которых достаточно для работоспособности всей системы. Причём, никакое собственное подмножество этим свойством не обладает.

Пусть дана схема:

Минимальные пути на ней:

  • 1 - 4;
  • 2 - 5;
  • 1 - 3 - 5;
  • 2 - 3 - 4.

Все минимальные пути представляют собой ненагруженный резерв.

Если посчитать вероятность для путей, то получится завышенная характеристика, $$P_{рез}\leqslant P_{путей}$$

Минимальное сечение - множество элементов, отказ которых приводит к отказу всей системы. Причём, никакое собственное подмножество этим свойством не обладает.

Минимальные сечения для всё той же схемы:

  • 1 - 2;
  • 4 - 5;
  • 1 - 3 - 5;
  • 2 - 3 - 4.

Все минимальные сечения представляют собой такое:

Система оказывает, если отказывает хотя бы одно сечение.

Расчёты такого метода получатся следующими: $$P_{сеч}\leqslant P_{рез}\leqslant P_{путей}$$

Пример для путей и сечений

Минимальные пути:

$$f_1 = x_1x_4 = 0.9\cdot 0.7 = 0.63$$
$$f_2 = x_2x_5 = 0.9\cdot 0.7 = 0.63$$
$$f_3 = x_1x_3x_5 = 0.9\cdot 0.8\cdot 0.7 = 0.504$$
$$f_4 = x_2x_3x_4 = 0.9\cdot 0.8\cdot 0.7 = 0.504$$

Минимальные сечения:

$$\nu_1 = 1 - (1 - x_1)\cdot (1 - x_2) = 0.99$$
$$\nu_2 = 1 - (1 - x_4)\cdot (1 - x_5) = 0.91$$
$$\nu_3 = 1 - (1 - x_1)\cdot (1 - x_3)\cdot (1 - x_5) = 0.994$$
$$\nu_4 = 1 - (1 - x_2)\cdot (1 - x_3)\cdot (1 - x_4) = 0.994$$

Тогда: $$0.889\leqslant P_{рез}\leqslant 0.966$$

Функции, которые мы использовали, являются повторными, потому возможны погрешности.

Метод логико-вероятностный

Суть метода - записать структурную функцию надёжности, например, методом путей и сечений, и затем эту функцию преобразовать (каким-то методом) в безповторную. После этого можно переходить к надёжностным выражениям и вычислять надёжность системы.

Можно использовать как для восстанавливаемых систем, так и для невосстанавливаемых систем.

Метод хорош тем, что всегда можно найти структурную функцию. Его можно использовать для любой системы. Ограничения для восстанавливаемых систем - восстановление не ограничено, отсутствуют очереди на ожидание восстановления. Реальные системы почти никогда не обладают таким свойством.

В этом методе обязательно надо помнить, что элемент может быть либо работоспособным, либо неработоспособным - никаких промежуточных состояний.

$$\varphi (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1\cdot\varphi_1\cdot (1, x_2, ..., x_n)\bigvee \overline{x_1}\cdot\varphi_1\cdot (0, x_2, ..., x_n)$$

Если использовать эту формулу до бесповторности, то можно переходить к определению показателей надёжности.

Две функции алгебры логики называются ортогональными, если их конъюнкция равна нулю.

Пусть $$X = (x_1 ... x_n)$$, $$\varphi(X) = \varphi_1(X)\cdot\varphi_2(X)$$ и эта форма является безповторной, тогда вероятность $$R(\varphi) = R(\varphi_1)\cdot R(\varphi_2)$$

Если $$\varphi(X) = \varphi_1(X)\bigvee\varphi_2(X)$$, а $$\varphi_1$$ и $$\varphi_2$$ - ортогональные, то $$R(\varphi) = R(\varphi_1) + R(\varphi_2)$$

Следствие:

если $$\varphi(X) = x_1\cdot\varphi_1(X)\bigvee\overline{x_1}\cdot\varphi_2(X)$$, то $$R(\varphi) = R(x_1)\cdot R(\varphi_1) + R(x_1)\cdot (1 - R(x_1)\cdot R(\varphi_2))$$
Пример для логико-вероятностного

$$\varphi(X) = x_1x_4\bigvee x_1x_3x_5\bigvee x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4$$

$$\varphi(X) = x_1\cdot(x_4\bigvee x_3x_5\bigvee x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4)\bigvee\overline{x_1}\cdot(x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4)$$

$$\varphi(X) = x_1\cdot\varphi_1(X)\bigvee\overline{x_1}\cdot\varphi_2(X)$$

$$\varphi(x_1) = x_4\bigvee\overline{x_4}\cdot x_5\cdot (x_3\bigvee x_2)$$
$$\varphi(x_2) = x_2\cdot (x_5\bigvee x_3x_4)$$

$$R(\varphi) = R(x_1)\cdot R(\varphi_1) + (1 - R(x_1)\cdot R(\varphi_2))$$

$$R(\varphi_1) = R(x_4)\cdot R(\varphi_1) - (1 - R(x_2)\cdot R(\varphi_2))=$$
$$= R(x_4) + (1 - R(x_4)\cdot R(x_5)\cdot R(x_3) + R(x_2) - R\cdot R(x_3)\cdot R(x_2))$$
$$R(\varphi_2) = R(x_2)\cdot (R(x_5) + R(x_3)\cdot R(x_4) - R(x_5)\cdot R(x_3)\cdot R(x_4)$$

Подставим значения:

$$R(\varphi_1) = 0.7 + 0.3\cdot 0.7\cdot (0.8 + 0.9 - 0.8\cdot 0.9) = 0.906$$
$$R(\varphi_2) = 0.9\cdot (0.7 + 0.8\cdot 0.7 - 0.7\cdot 0.8\cdot 0.7) = 0.783$$
$$R(\varphi) = 0.9\cdot 0.906 + 0.1\cdot 0.783 = 0.894$$

Результат:

$$0.889\leqslant 0.894\leqslant 0.966$$