НиД (10) - Лекция №4 - Расчёт невосстанавливаемых систем
Содержание
Показатели надёжности невосстанавливаемых систем
Ненагруженный резерв
Все элементы идентичны ($\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n$). Между ними можно переключаться.
Если не указывается дополнительно, то считается, что переключатель между элементами абсолютно надёжен.
$P_{рез} = \sum_{i=0}^n\frac{(\lambda\cdot t)^i}{i!}\cdot e^{=\lambda\cdot t}$
Пример расчёта ненагруженного резерва
Система состоит их двух элементов, $\lambda = 0.01$.
Вычислить вероятность безотказной работы за $t = 10$ часов.
$P_{рез} = (1 + \lambda\cdot t)\cdot e^{-10\cdot 0.01}$
Методы расчёта надёжности невосстанавливаемых систем
Топологически сложные схемы
Метод путей и сечений
Он же метод минимальных путей и минимальных сечений. Приближённый.
Можно использовать как для восстанавливаемых систем, так и для невосстанавливаемых систем.
- $x_i = 1$, если элемент работоспособен.
- $x_i = 0$, если элемент неработоспособен.
Структурная функция работоспособности системы $\varphi (X)$, $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$
- $P_1 = 0.9$
- $P_2 = 0.9$
- $P_3 = 0.8$
- $P_4 = P_5 = 0.7$
Минимальный путь - множество работоспособных элементов системы, которых достаточно для работоспособности всей системы. Причём, никакое собственное подмножество этим свойством не обладает.
Пусть дана схема:
Минимальные пути на ней:
- 1 - 4;
- 2 - 5;
- 1 - 3 - 5;
- 2 - 3 - 4.
Все минимальные пути представляют собой ненагруженный резерв.
Если посчитать вероятность для путей, то получится завышенная характеристика, $P_{рез}\leqslant P_{путей}$
Минимальное сечение - множество элементов, отказ которых приводит к отказу всей системы. Причём, никакое собственное подмножество этим свойством не обладает.
Минимальные сечения для всё той же схемы:
- 1 - 2;
- 4 - 5;
- 1 - 3 - 5;
- 2 - 3 - 4.
Все минимальные сечения представляют собой такое:
Система оказывает, если отказывает хотя бы одно сечение.
Расчёты такого метода получатся следующими: $P_{сеч}\leqslant P_{рез}\leqslant P_{путей}$
Пример для путей и сечений
Минимальные пути:
- $f_1 = x_1x_4 = 0.9\cdot 0.7 = 0.63$
- $f_2 = x_2x_5 = 0.9\cdot 0.7 = 0.63$
- $f_3 = x_1x_3x_5 = 0.9\cdot 0.8\cdot 0.7 = 0.504$
- $f_4 = x_2x_3x_4 = 0.9\cdot 0.8\cdot 0.7 = 0.504$
Минимальные сечения:
- $\nu_1 = 1 - (1 - x_1)\cdot (1 - x_2) = 0.99$
- $\nu_2 = 1 - (1 - x_4)\cdot (1 - x_5) = 0.91$
- $\nu_3 = 1 - (1 - x_1)\cdot (1 - x_3)\cdot (1 - x_5) = 0.994$
- $\nu_4 = 1 - (1 - x_2)\cdot (1 - x_3)\cdot (1 - x_4) = 0.994$
Тогда: $0.889\leqslant P_{рез}\leqslant 0.966$
Функции, которые мы использовали, являются повторными, потому возможны погрешности.
Метод логико-вероятностный
Суть метода - записать структурную функцию надёжности, например, методом путей и сечений, и затем эту функцию преобразовать (каким-то методом) в безповторную. После этого можно переходить к надёжностным выражениям и вычислять надёжность системы.
Можно использовать как для восстанавливаемых систем, так и для невосстанавливаемых систем.
Метод хорош тем, что всегда можно найти структурную функцию. Его можно использовать для любой системы. Ограничения для восстанавливаемых систем - восстановление не ограничено, отсутствуют очереди на ожидание восстановления. Реальные системы почти никогда не обладают таким свойством.
В этом методе обязательно надо помнить, что элемент может быть либо работоспособным, либо неработоспособным - никаких промежуточных состояний.
$\varphi (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1\cdot\varphi_1\cdot (1, x_2, ..., x_n)\bigvee \overline{x_1}\cdot\varphi_1\cdot (0, x_2, ..., x_n)$
Если использовать эту формулу до бесповторности, то можно переходить к определению показателей надёжности.
Две функции алгебры логики называются ортогональными, если их конъюнкция равна нулю.
Пусть $X = (x_1 ... x_n)$, $\varphi(X) = \varphi_1(X)\cdot\varphi_2(X)$ и эта форма является безповторной, тогда вероятность $R(\varphi) = R(\varphi_1)\cdot R(\varphi_2)$
Если $\varphi(X) = \varphi_1(X)\bigvee\varphi_2(X)$, а $\varphi_1$ и $\varphi_2$ - ортогональные, то $R(\varphi) = R(\varphi_1) + R(\varphi_2)$
Следствие:
- если $\varphi(X) = x_1\cdot\varphi_1(X)\bigvee\overline{x_1}\cdot\varphi_2(X)$, то $R(\varphi) = R(x_1)\cdot R(\varphi_1) + R(x_1)\cdot (1 - R(x_1)\cdot R(\varphi_2))$
Пример для логико-вероятностного
$\varphi(X) = x_1x_4\bigvee x_1x_3x_5\bigvee x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4$
$\varphi(X) = x_1\cdot(x_4\bigvee x_3x_5\bigvee x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4)\bigvee\overline{x_1}\cdot(x_2x_5\bigvee x_2x_3x_4)$
$\varphi(X) = x_1\cdot\varphi_1(X)\bigvee\overline{x_1}\cdot\varphi_2(X)$
- $\varphi(x_1) = x_4\bigvee\overline{x_4}\cdot x_5\cdot (x_3\bigvee x_2)$
- $\varphi(x_2) = x_2\cdot (x_5\bigvee x_3x_4)$
$R(\varphi) = R(x_1)\cdot R(\varphi_1) + (1 - R(x_1)\cdot R(\varphi_2))$
- $R(\varphi_1) = R(x_4)\cdot R(\varphi_1) - (1 - R(x_2)\cdot R(\varphi_2))=$
- $= R(x_4) + (1 - R(x_4)\cdot R(x_5)\cdot R(x_3) + R(x_2) - R\cdot R(x_3)\cdot R(x_2))$
- $R(\varphi_2) = R(x_2)\cdot (R(x_5) + R(x_3)\cdot R(x_4) - R(x_5)\cdot R(x_3)\cdot R(x_4)$
Подставим значения:
- $R(\varphi_1) = 0.7 + 0.3\cdot 0.7\cdot (0.8 + 0.9 - 0.8\cdot 0.9) = 0.906$
- $R(\varphi_2) = 0.9\cdot (0.7 + 0.8\cdot 0.7 - 0.7\cdot 0.8\cdot 0.7) = 0.783$
- $R(\varphi) = 0.9\cdot 0.906 + 0.1\cdot 0.783 = 0.894$
Результат:
- $0.889\leqslant 0.894\leqslant 0.966$
