НиД (10) - Лекция №7 - Метод свёртывания по гиперплоскостям

Содержание

Сначала построим вероятностый граф состояний. Каждое состояние имеет два типа заявок.

Состояние системы: $\xi\{\xi_1(t), \xi_2(t)\}$ где:

$\xi_1$: количество заявок 1 типа;

$\xi_2$: количество заявок 2 типа.

Составляем систему уравнений. Будем считать, что в системе есть стационарное состояние (вероятности не зависят от времени).

В некоторых системах можно предположить, что эта "решётка" имеет некоторую регулярность. Попробуем тогда объединить в $P_0$:

$0 = -P_{00}\cdot\lambda_1 - P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{10}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\mu_2$

$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$

$0 = -P_{02}\cdot\lambda_1 - P_{02}\cdot\lambda_2 - P_{02}\cdot\mu_2 + P_{01}\cdot\lambda_2 + P_{12}\cdot\mu_1 + P_{03}\cdot\mu_2$

$...$

$\sum = - P_{00}\cdot\lambda_1 + P_{10}\cdot\mu_1 - P_{01}\cdot\lambda_1 + P_{11}\cdot\mu_1 - P_{02}\cdot\lambda_1 + P_{12}\cdot\mu_2 + ...$

Это:

$0 = - P_0\cdot\lambda_1 + P_1\cdot\mu_1$

$0 = P_0\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_2\cdot\mu_1$

$...$

Получится обычный граф состояний:

Дальше так же объединяем в $P_1$:

$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$

$0 = -P_{11}\cdot\lambda_2 - P_{11}\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_{20}\cdot\lambda_2 + P_{21}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\lambda_1$

$...$

Можно также объединить по горизонтали:

$\mu^\prime_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$

$\mu^2_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$

Граф:

$\mu^\prime_{экв2} = P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$

$\mu^2_{экв2} = 2\cdot P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$

Граф: