НиД (10) - Лекция №7 - Метод свёртывания по гиперплоскостям

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод свёртывания графа состояний по гиперплоскостям

Один обслуживающий аппарат

Сначала построим вероятностый граф состояний. Каждое состояние имеет два типа заявок.

Состояние системы: $$\xi\{\xi_1(t), \xi_2(t)\}$$ где:

$$\xi_1$$: количество заявок 1 типа;
$$\xi_2$$: количество заявок 2 типа.

Составляем систему уравнений. Будем считать, что в системе есть стационарное состояние (вероятности не зависят от времени).

В некоторых системах можно предположить, что эта "решётка" имеет некоторую регулярность. Попробуем тогда объединить в $$P_0$$:

$$0 = -P_{00}\cdot\lambda_1 - P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{10}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\mu_2$$

$$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$$

$$0 = -P_{02}\cdot\lambda_1 - P_{02}\cdot\lambda_2 - P_{02}\cdot\mu_2 + P_{01}\cdot\lambda_2 + P_{12}\cdot\mu_1 + P_{03}\cdot\mu_2$$

$$...$$

$$\sum = - P_{00}\cdot\lambda_1 + P_{10}\cdot\mu_1 - P_{01}\cdot\lambda_1 + P_{11}\cdot\mu_1 - P_{02}\cdot\lambda_1 + P_{12}\cdot\mu_2 + ...$$

Это:

$$0 = - P_0\cdot\lambda_1 + P_1\cdot\mu_1$$
$$0 = P_0\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_2\cdot\mu_1$$
$$...$$

Получится обычный граф состояний:

Дальше так же объединяем в $$P_1$$:

$$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$$

$$0 = -P_{11}\cdot\lambda_2 - P_{11}\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_{20}\cdot\lambda_2 + P_{21}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\lambda_1$$

$$...$$

Можно также объединить по горизонтали:

$$\mu^\prime_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$$

$$\mu^2_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$$

Два обслуживающих аппарата

Граф:

$$\mu^\prime_{экв2} = P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$$

$$\mu^2_{экв2} = 2\cdot P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$$

Двухфазная система

Граф: