НиД (10) - Лекция №7 - Метод свёртывания по гиперплоскостям
Метод свёртывания графа состояний по гиперплоскостям
Один обслуживающий аппарат
Сначала построим вероятностый граф состояний. Каждое состояние имеет два типа заявок.
Состояние системы: $$\xi\{\xi_1(t), \xi_2(t)\}$$ где:
- $$\xi_1$$: количество заявок 1 типа;
- $$\xi_2$$: количество заявок 2 типа.
Составляем систему уравнений. Будем считать, что в системе есть стационарное состояние (вероятности не зависят от времени).
В некоторых системах можно предположить, что эта "решётка" имеет некоторую регулярность. Попробуем тогда объединить в $$P_0$$:
$$0 = -P_{00}\cdot\lambda_1 - P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{10}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\mu_2$$
$$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$$
$$0 = -P_{02}\cdot\lambda_1 - P_{02}\cdot\lambda_2 - P_{02}\cdot\mu_2 + P_{01}\cdot\lambda_2 + P_{12}\cdot\mu_1 + P_{03}\cdot\mu_2$$
$$...$$
$$\sum = - P_{00}\cdot\lambda_1 + P_{10}\cdot\mu_1 - P_{01}\cdot\lambda_1 + P_{11}\cdot\mu_1 - P_{02}\cdot\lambda_1 + P_{12}\cdot\mu_2 + ...$$
Это:
- $$0 = - P_0\cdot\lambda_1 + P_1\cdot\mu_1$$
- $$0 = P_0\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_2\cdot\mu_1$$
- $$...$$
Получится обычный граф состояний:
Дальше так же объединяем в $$P_1$$:
$$0 = -P_{01}\cdot\lambda_1 - P_{01}\cdot\lambda_2 - P_{01}\cdot\mu_2 + P_{00}\cdot\lambda_2 + P_{11}\cdot\mu_1 + P_{02}\cdot\mu_2$$
$$0 = -P_{11}\cdot\lambda_2 - P_{11}\cdot\lambda_1 - P_1\cdot\mu_1 + P_{20}\cdot\lambda_2 + P_{21}\cdot\mu_1 + P_{01}\cdot\lambda_1$$
$$...$$
Можно также объединить по горизонтали:
$$\mu^\prime_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$$
$$\mu^2_{экв2} = \mu_2\cdot P_0$$
Два обслуживающих аппарата
Граф:
$$\mu^\prime_{экв2} = P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$$
$$\mu^2_{экв2} = 2\cdot P_0\cdot\mu_2 + P_1\cdot\mu_2$$
Двухфазная система
Граф: