АМСОИ (10) - Лекция №7 - Анализ разомкнутых СеМО

Разомкнутые сети массового обслуживания

Порядок анализа:

1. разбить исходную СМО на несколько;
2. составить систему уравнений, в которой для каждой СМО присутствует своё уравнение;
3. решить систему и определить реальных входные потоки для каждой СМО: $$\lambda_i = \alpha_i\cdot \lambda$$, где $$\alpha_i$$ - сколько раз входной поток проходит через $$i$$-ой СМО за время пребывания;
4. определить загрузку каждой СМО: $$\rho_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i\cdot c_i} = \frac{\alpha_i\cdot\lambda}{\mu_i\cdot c_i}$$, где $$c_i$$ - количество ОА в $$i$$-ой СМО;
5. представляем каждую СМО в виде СМО типа M/M/C;
6. определить характеристики функционирования.

Тип M/M/C:

• пуассоновский входной поток;
• экспоненциальное обслуживание;
• C - количество ОА;
• ёмкость входного буфера бесконечна;
• FIFO;
• ёмкость генератора заявок бесконечна.

Характеристики функционирования:

$$T = \sum_{i=1}^n T_i$$;

$$W = \sum_{i=1}^n W_i$$;

$$L = \sum_{i=1}^n L_i$$;

$$Q = \sum_{i=1}^n Q_i$$.

Пример разомкнутой СеМО

Каждая СМО является M/M/1.

Исходные данные:

$$\lambda = 1$$

$$\mu_1 = 10$$, $$\mu_2 = 8$$, $$\mu_3 = 5$$

$$P_{12} = 0.75$$, $$P_{13} = 0.25$$, $$P_{21} = 0.5$$, $$P_{31} = 1$$

Система уравнений:

$$\lambda_1 = \lambda + \lambda_2\cdot P_{21} + \lambda_3$$

$$\lambda_2 = \lambda_1\cdot P_{12}$$

$$\lambda_3 = \lambda_1\cdot P_{13}$$

Заменяем и считаем:

$$\alpha_1\cdot\lambda = \lambda + \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{21} + \lambda_3 = 2.67$$

$$\alpha_2\cdot\lambda = \alpha_1\cdot\lambda\cdot P_{12} = 2$$

$$\alpha_3\cdot\lambda = \alpha_1\lambda\cdot P_{13} = 0.67$$

Загрузка:

$$\rho_1 = \frac{2.67\cdot 1}{10\cdot 1} = 0.267$$

$$\rho_2 = \frac{2\cdot 1}{8\cdot 1} = 0.25$$

$$\rho_3 = \frac{0.67\cdot 1}{5\cdot 1} = 0.134$$

Характеристики:

$$Q_i = \frac{\rho_i^2}{1 - \rho_i}$$

$$L_i = Q_i + \rho_i = \frac{\rho_i}{1 - \rho_i}$$

$$W_i = \alpha_i\cdot\frac{Q_i}{\lambda_i}$$

$$T_i = \alpha_i\cdot\frac{L_i}{\lambda_i}$$

Параметр	СМО1	СМО2	СМО3	СеМО
$$\rho$$	0.267	0.25	0.134	-
$$Q$$	0.097	0.083	0.021	0.201
$$L$$	0.364	0.333	0.155	0.852
$$W$$	0.097	0.083	0.021	0.201
$$T$$	0.364	0.333	0.155	0.852

Ещё пример разомкнутой СеМО

Исходные данные:

$$\lambda_{вх1} = 1$$, $$\mu_1 = 8$$

$$\lambda_{вх2} = 2$$, $$\mu_2 = 10$$

$$P_{12} = 1$$, $$P_{21} = 0.4$$, $$P_{22} = 0.2$$

Система уравнений:

$$\lambda_1 = \lambda_{вх1} + \lambda_2\cdot P_{21}$$

$$\lambda_2 = \lambda_{вх1} + \lambda_2\cdot P_{22} +\lambda_1$$

Из входных потоков выбираем минимальный. Все остальные имеют коэффициент относительно $$\lambda$$, то есть у нас это $$2\cdot\lambda$$

Заменяем:

$$\alpha_1\cdot\lambda = \lambda + \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{21}$$

$$\alpha_2\cdot\lambda = \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{22}$$

Считаем:

$$\alpha_1 = 2.67$$, $$\lambda_1 = 4$$, $$\rho_1 = 0.5$$

$$\alpha_2 = 2$$, $$\lambda_2 = 7.5$$, $$\rho_2 = 0.75$$

Характеристики посчитать дома:

Параметр	СМО1	СМО2	СМО3	СеМО
$$\rho$$	0	0	0	-
$$Q$$	0	0	0	0
$$L$$	0	0	0	0
$$W$$	0	0	0	0
$$T$$	0	0	0	0

Домашнее задание №5

Исходные данные:

$$\lambda_{вх1} = 1$$, $$\mu_1 = 8$$

$$\lambda_{вх2} = 2$$, $$\mu_2 = 10$$

$$P_{12} = 1$$, $$P_{21} = 0.4$$, $$P_{22} = 0.2$$