АМСОИ (10) - Лекция №7 - Анализ разомкнутых СеМО

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску
Версия для печати больше не поддерживается и может содержать ошибки обработки. Обновите закладки браузера и используйте вместо этого функцию печати браузера по умолчанию.

Разомкнутые сети массового обслуживания

Порядок анализа:

  1. разбить исходную СМО на несколько;
  2. составить систему уравнений, в которой для каждой СМО присутствует своё уравнение;
  3. решить систему и определить реальных входные потоки для каждой СМО: $$\lambda_i = \alpha_i\cdot \lambda$$, где $$\alpha_i$$ - сколько раз входной поток проходит через $$i$$-ой СМО за время пребывания;
  4. определить загрузку каждой СМО: $$\rho_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i\cdot c_i} = \frac{\alpha_i\cdot\lambda}{\mu_i\cdot c_i}$$, где $$c_i$$ - количество ОА в $$i$$-ой СМО;
  5. представляем каждую СМО в виде СМО типа M/M/C;
  6. определить характеристики функционирования.

Тип M/M/C:

  • пуассоновский входной поток;
  • экспоненциальное обслуживание;
  • C - количество ОА;
  • ёмкость входного буфера бесконечна;
  • FIFO;
  • ёмкость генератора заявок бесконечна.

Характеристики функционирования:

$$T = \sum_{i=1}^n T_i$$;
$$W = \sum_{i=1}^n W_i$$;
$$L = \sum_{i=1}^n L_i$$;
$$Q = \sum_{i=1}^n Q_i$$.

Пример разомкнутой СеМО

Каждая СМО является M/M/1.

Исходные данные:

$$\lambda = 1$$
$$\mu_1 = 10$$, $$\mu_2 = 8$$, $$\mu_3 = 5$$
$$P_{12} = 0.75$$, $$P_{13} = 0.25$$, $$P_{21} = 0.5$$, $$P_{31} = 1$$

Система уравнений:

$$\lambda_1 = \lambda + \lambda_2\cdot P_{21} + \lambda_3$$
$$\lambda_2 = \lambda_1\cdot P_{12}$$
$$\lambda_3 = \lambda_1\cdot P_{13}$$

Заменяем и считаем:

$$\alpha_1\cdot\lambda = \lambda + \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{21} + \lambda_3 = 2.67$$
$$\alpha_2\cdot\lambda = \alpha_1\cdot\lambda\cdot P_{12} = 2$$
$$\alpha_3\cdot\lambda = \alpha_1\lambda\cdot P_{13} = 0.67$$

Загрузка:

$$\rho_1 = \frac{2.67\cdot 1}{10\cdot 1} = 0.267$$
$$\rho_2 = \frac{2\cdot 1}{8\cdot 1} = 0.25$$
$$\rho_3 = \frac{0.67\cdot 1}{5\cdot 1} = 0.134$$

Характеристики:

$$Q_i = \frac{\rho_i^2}{1 - \rho_i}$$
$$L_i = Q_i + \rho_i = \frac{\rho_i}{1 - \rho_i}$$
$$W_i = \alpha_i\cdot\frac{Q_i}{\lambda_i}$$
$$T_i = \alpha_i\cdot\frac{L_i}{\lambda_i}$$
Параметр СМО1 СМО2 СМО3 СеМО
$$\rho$$ 0.267 0.25 0.134 -
$$Q$$ 0.097 0.083 0.021 0.201
$$L$$ 0.364 0.333 0.155 0.852
$$W$$ 0.097 0.083 0.021 0.201
$$T$$ 0.364 0.333 0.155 0.852

Ещё пример разомкнутой СеМО

Исходные данные:

$$\lambda_{вх1} = 1$$, $$\mu_1 = 8$$
$$\lambda_{вх2} = 2$$, $$\mu_2 = 10$$
$$P_{12} = 1$$, $$P_{21} = 0.4$$, $$P_{22} = 0.2$$

Система уравнений:

$$\lambda_1 = \lambda_{вх1} + \lambda_2\cdot P_{21}$$
$$\lambda_2 = \lambda_{вх1} + \lambda_2\cdot P_{22} +\lambda_1$$

Из входных потоков выбираем минимальный. Все остальные имеют коэффициент относительно $$\lambda$$, то есть у нас это $$2\cdot\lambda$$

Заменяем:

$$\alpha_1\cdot\lambda = \lambda + \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{21}$$
$$\alpha_2\cdot\lambda = \alpha_2\cdot\lambda\cdot P_{22}$$

Считаем:

$$\alpha_1 = 2.67$$, $$\lambda_1 = 4$$, $$\rho_1 = 0.5$$
$$\alpha_2 = 2$$, $$\lambda_2 = 7.5$$, $$\rho_2 = 0.75$$

Характеристики посчитать дома:

Параметр СМО1 СМО2 СМО3 СеМО
$$\rho$$ 0 0 0 -
$$Q$$ 0 0 0 0
$$L$$ 0 0 0 0
$$W$$ 0 0 0 0
$$T$$ 0 0 0 0

Домашнее задание №5

Исходные данные:

$$\lambda_{вх1} = 1$$, $$\mu_1 = 8$$
$$\lambda_{вх2} = 2$$, $$\mu_2 = 10$$
$$P_{12} = 1$$, $$P_{21} = 0.4$$, $$P_{22} = 0.2$$