АМСОИ (10) - Лекция №9 - Замкнутые СМО

Этот конспект ещё не дописан. Здесь не хватает:    - примеров

Замкнутые СМО

Модель ремонтника

Подход к решению:

1) используя формулу Мальма (или Пальма), определяем вероятность простоя ремонтника:

$$$\Psi = \frac{\mu_{НО} }{\mu_0} = \frac{t_0}{t_{НО} }$$$

$$$P_0 = \Bigl(\sum_{k=0}^N \frac{N!\cdot\Psi^k}{(N - k)!}\Bigr)^{-1}$$$

2) испольуя формулу Литтла:

$$$T_{цикла} = \frac{N\cdot t_0}{U_0}$$$ где:

$$U_0 = 1 - P_0$$ - коэффицент использования.

3) находим время пребывания в ремонте (в очереди + сам ремонт):

$$$T_{ремонта} = T_{цикла} - t_{НО}$$$

4) находим количество заявок в ремонте:

$$$L = \lambda\cdot T_{ремонта} = \frac{N}{T_{цикла} }\cdot T_{ремонта} = N\cdot\frac{T_{ремонта} }{T_{цикла} }$$$

5) количество заявок в очереди:

$$$Q = L - U_0$$$

6) время нахождения в очереди:

$$$W = T_{ремонта} - t_0$$$

Метод фонового потока

$$T_1 = T_2$$

$$T_{цикла} = T_1 + T_2$$

$$T_1 = \frac{t}{1 - \rho_{фоновая_1} } = \frac{(N + 1)\cdot t_1}{2}$$, $$\rho_{фоновая}$$ - загрузка обслуживающего аппарата потоком фоновых задач.

$$\rho_{фоновая_1} = \lambda_{фоновая_1}\cdot t_1$$

$$\lambda_{фоновая} = \frac{N - 1}{T_{цикла} }$$

$$\lambda_{фоновая}$$ - поток фоновых задач (которые создаются всеми, кроме рассматриваемой).

Для большего количества фаз:

$$$U = \frac{N}{N + 1}$$$

$$$P_0 = \frac{1}{N + 1}$$$

$$$U + P_0 = 1$$$

$$$U_\sum = 2\cdot U = \frac{2\cdot N}{N + 1}$$$

Метод узкого места

Для приблизительной оценки общего времени пребывания в последовательном тракте (сколько трафик идёт от отправителя к получателя).

1) определяем узел, у которого наибольшее время обслуживания. Если таких несколько, то выбираем любой из них;

2) определяем время цикла:

приближённая формула:

$$$T_{цикла} = N\cdot t_{max} + \sum_{i=1}^{k-1} t_i$$$

точная формула:

$$$T_{цикла} = N\cdot t_{max} + \sum_{i=1}^{k-1}\frac{t_i}{t_{max} }\cdot t_i$$$