НиД (10) - Лекция №13 - Время пребывания в группе состояний
Этот конспект ещё не дописан. Здесь не хватает: - скольких-то формул - нескольких графов |
Материал по работам Овчаров Льва Александровича.
Нахождение функции распределения времени пребывания в группе состояний
Состояния системы $$\xi(t)$$.

Составляем систему уравнений, всё как всегда. Стационарный режим, производные равны нулю, и $$P_0 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\cdot P_1 = \rho_1\cdot P_1$$, а $$P_1 = \rho_2\cdot P_2$$ и так далее.
$$$P_0 = \frac{1}{1 + \sum_{k=0}^{n-1}\Pi_{i=0}^k\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1} } }$$$
И вот ставится задача найти функцию распределения времени пребывания в некоторых состояниях (однократного в них пребывания).
Например, состояния $$x_3, x_4, x_5$$ являются рабочими - если система находится в них, то она работоспособна, и при отказе система перейдёт в состояние $$x_2$$ или $$x_6$$.
Выделим из общего графа часть с этими состояниями. Все переходы будут кодироваться $$\lambda_{из состояния, в состояние}$$
$$$P_{i-1}' = \lambda_{i,i-1}\cdot P_i(t)$$$
$$$P_{i}' = (\lambda_{i,i+1} + \lambda_{i,i-1})\cdot P_i(t) + \lambda_{i,i+1}\cdot P_{i+1}(t)$$$
$$$P_{i-1}(0) = 0$$$
$$$P_{j+1}(0) = 0$$$
$$$\sum_{k=i}^j P_{k}(0) = 1$$$
Для наших условий найдём функцию распределения $$F(t)$$ времени $$T$$ пребывания системы в группе состояний $${x_i..x_j}$$. Эта функция равна вероятности того, что это время $$T$$ будет меньше, чем текущее $$t$$. То есть, это означает, что к моменту времени $$t$$ система не будет находится в нашей группе состояний (будет неисправна), а будет находиться либо в $$x_{i-1}$$, либо в $$x_{j+1}$$.
Значит:
$$$F(t) = P_{i-1}(t) + P_{j+1}(t)$$$
$$$f(t) = \frac{dF(t)}{dt} = \frac{dP_{i-1}(t)}{dt} + \frac{dP_{j+1}(t)}{dt}$$$
Хотя наш новый граф отличается от исходного, но закон распределения времени пребывания в группе состояний будет таким же.
Можем теперь найти математическое ожидание:
$$$m[t] = \overline{t} = \int_0^\infty t\cdot f(t) dt$$$
$$$m[T^2] = \alpha = \int_0^\infty t^2\cdot f(t) dt$$$
$$$D[t] = m[T^2] - (m[t])^2$$$
Теперь возьмём наш граф без поглощающих (неисправных) состояний. В результате кучки формул получится:
$$$\Pi_{i..n} = \sum_{j=1}^n P_j$$$
На основании эргодического свойства это будет равно:
$$$\Pi_{i..n} = \frac{\overline{t}_{i..n} }{\overline{t}_{i-1} + \overline{t}_{i..n} }$$$
$$$\overline{t}_{i-1} = \frac{1}{\lambda_{i-1,i} }$$$
$$$\overline{t}_{i..n} = \overline{t}_{i-1}\cdot\frac{\Pi_{i..n} }{1 - \Pi_{i..n} }$$$
В подавляющем большинстве случаев функция распределения времени нахождения в группе состояний является экспоненциальной, значит:
$$$\lambda = \frac{1}{\overline{t}_{i..n} }$$$
$$$f(t) = \lambda\cdot e^{-\lambda\cdot t}$$$
Адаптация для псевдоэлементов и ограниченного восстановления
Рассмотренный выше метод можно использовать для адаптации метода псевдоэлементов для систем с ограниченным восстановлением.
Определим время нахождения в группе состояний:
$$$T_0 = \frac{1}{\mu_{n-k+1} }\cdot \frac{\sum_{j=0}^{n-k} P_j}{P_{n-k+1} }...$$$
$$$P_0 = \frac{1}{1 + \sum{j=1}^{n-k}\Pi_{i=1}^j P_j}$$$
$$$T_{неогр.} = \frac{(n-k)!\cdot\mu^{n-k} }{\Pi_{i=1}^{n-k+1} \lambda_i}$$$
Таким образом, если не учесть ограниченное или неограниченное восстановление, то ошибка будет равна:
$$$\frac{T_{неогр.} }{T_{огр.} } = (n-k)!$$$
В ряде случаев эта погрешность будет отсутствовать, а в других случаях может быть огромной.
Поэтому было предложено для случаев с ограниченным восстановлением находить некоторое значение $$\mu_{экв}$$ и считать с ним, как с неограниченным. Для этого $$\mu_{экв}$$ должно быть таким, чтобы время наработки на отказ у неограниченного и ограниченного были равны.
$$$\mu_{экв_i} = \frac{\mu_{экв_{i-1} } }{\Bigl(\frac{T_{НО_{i-1} } }{T}\Bigr)^{\frac{1}{n-k} } }$$$
$$$\mu_{экв_1} = \Bigl(\frac{\Pi_{i=1}^{n-k+1} \mu_i}{(n - k)!}\Bigr)^{\frac{1}{n-k} }$$$